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Correction devoir de contrôle n1math
1er année secondaire
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Exercice N°1 (5pts)
‎a) Décomposition en facteurs premiers:
‎
‎700 = 2² × 5² × 7
‎168 = 2³ × 3 × 7
‎b) PGCD(700 ; 168) :
‎
‎Le PGCD est obtenu en prenant les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants.
‎Facteurs communs : 2² × 7 = 28
‎Donc, PGCD(700 ; 168) = 28
‎PPCM(700 ; 168) :
‎
‎Le PPCM est obtenu en prenant tous les facteurs premiers avec les plus grands exposants.
‎PPCM = 2³ × 3 × 5² × 7 = 4200
‎Donc, PPCM(700 ; 168) = 4200
‎Rendre la fraction 168/700 irréductible :
‎
‎On divise le numérateur et le dénominateur parAfficher la suite leur PGCD (28).
‎168 ÷ 28 = 6 et 700 ÷ 28 = 25
‎Fraction irréductible : 6/25
‎Exercice N°2 (3pts)
‎PGCD(520 ; 76) par l'Algorithme d'Euclide :
‎
‎520 ÷ 76 = 6 (reste 40)
‎76 ÷ 40 = 1 (reste 36)
‎40 ÷ 36 = 1 (reste 4)
‎36 ÷ 4 = 9 (reste 0)
‎Le PGCD est 4.
‎PPCM(520 ; 76) :
‎
‎PPCM = (520 × 76) / PGCD(520 ; 76) = (520 × 76) / 4 = 9880
‎Donc, PPCM(520 ; 76) = 9880
‎Exercice N°3 (4pts)
‎Déterminer les chiffres x et y pour que 125xy soit divisible par 3 et par 5 :
‎
‎Pour que le nombre soit divisible par 5, y doit être 0 ou 5.
‎Pour qu'il soit divisible par 3, la somme des chiffres (1 + 2 + 5 + x + y) doit être un multiple de 3.
‎Si y = 0 : la somme est (1 + 2 + 5 + x) = 8 + x, donc x = 1 (car 8 + 1 = 9 qui est multiple de 3).
‎Si y = 5 : la somme est (1 + 2 + 5 + x + 5) = 13 + x, donc x = 2 (car 13 + 2 = 15 qui est multiple de 3).
‎Les solutions possibles sont : x = 1, y = 0 ou x = 2, y = 5.
‎Déterminer les entiers naturels n pour lesquels (n + 6) / (n + 1) est un entier :
‎
‎(n + 6) / (n + 1) = 1 + 5 / (n + 1)
‎Pour que cette expression soit un entier, il faut que 5 / (n + 1) soit un entier, donc (n + 1) doit être un diviseur de 5.
‎Les diviseurs de 5 sont 1 et 5.
‎Donc n + 1 = 1, ce qui donne n = 0, ou n + 1 = 5, ce qui donne n = 4.
‎Les solutions sont n = 0 et n = 4.
‎Exercice N°4 (8pts)
‎Quelle est la nature du triangle DBC ? Justifier :
‎
‎Le triangle DBC est isocèle car les angles DĈB et ĒBĈ sont égaux (ce sont des angles inscrits interceptant le même arc du cercle).
‎a) Montrer que DĈB = DÊB et ĒBĈ = DÊB :
‎
‎DĈB = DÊB car ils interceptent le même arc (DB) dans le cercle.
‎ĒBĈ = DÊB car ils interceptent le même arc (EB) dans le cercle.
‎b) En déduire la nature du triangle FBC :
‎
‎Le triangle FBC est isocèle car les angles à la base sont égaux (DĈB = ĒBĈ).
‎Soit G un point de (C) tel que [DC] est la bissectrice de l’angle ĒBĜ. Montrer que les droites [BG] et [DC] sont parallèles :
‎
‎[DC] est la bissectrice de l'angle ĒBĜ, donc G est symétrique par rapport à [DC]. Ainsi, [BG] et [DC] sont parallèles par symétrie.